极值的判定方法 图像法判定基本原理通过观察函数图像来判断极值，这是最直观的方法：
极大值点：函数图像在该点达到局部最高点极小值点：函数图像在该点达到局部最低点适用场景函数图像容易绘制需要快速判断极值的大致位置作为其他方法的辅助验证注意事项图像法只能给出直观判断，不能提供严格的数学证明对于复杂函数，图像可能不够精确需要结合其他方法进行验证 数值比较法基本原理对于给定的函数值，通过比较邻域内的函数值来判断：
极大值：如果 f(x0)f(x_0)f(x0) 大于其邻域内所有其他点的函数值极小值：如果 f(x0)f(x_0)f(x0) 小于其邻域内所有其他点的函数值具体步骤选择测试点：在可疑极值点附近选择几个测试点计算函数值：计算这些点的函数值比较大小：与可疑极值点的函数值进行比较得出结论：根据比较结果判断是否为极值示例对于函数 f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3f(x)=x2−4x+3，怀疑 x=2x = 2x=2 是极值点：
f(2)=−1f(2) = -1f(2)=−1f(1)=0>−1f(1) = 0 > -1f(1)=0>−1f(3)=0>−1f(3) = 0 > -1f(3)=0>−1因此 x=2x = 2x=2 是极小值点。
数值比较法简单直观，但需要选择合适的测试点，且不能保证找到所有极值点。
导数法（进阶）导数法是微分学中的内容，适用于函数可导的情况。这是最严格的数学方法。
必要条件如果函数在点 x0x_0x0 处可导且取得极值，则 f′(x0)=0f'(x_0) = 0f′(x0)=0
充分条件第一充分条件设函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 的某个邻域内连续，在 x0x_0x0 的去心邻域内可导：
极大值：当 x
极大值：f′′(x0)<0f''(x_0) < 0f′′(x0)<0极小值：f′′(x0)>0f''(x_0) > 0f′′(x0)>0 例题分析例题 1求函数 f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2f(x)=x3−3x2+2 的极值。
参考答案 (5 个标签)极值 导数法 驻点 极大值 极小值解题思路： 使用导数法求极值，结合图像法验证。
详细步骤：
求导数： f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)
求驻点： 令 f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0，得 x=0x = 0x=0 或 x=2x = 2x=2
判断极值类型：
当 x<0x < 0x<0 时，f′(x)>0f'(x) > 0f′(x)>0（函数递增）当 0
x=0x = 0x=0 是极大值点x=2x = 2x=2 是极小值点计算极值：
f(0)=2f(0) = 2f(0)=2（极大值）f(2)=8−12+2=−2f(2) = 8 - 12 + 2 = -2f(2)=8−12+2=−2（极小值）答案： 函数在 x=0x = 0x=0 处取得极大值 222，在 x=2x = 2x=2 处取得极小值 −2-2−2。
例题 2求函数 f(x)=∣x∣f(x) = |x|f(x)=∣x∣ 的极值。
参考答案 (4 个标签)极值 不可导函数 数值比较法 极小值解题思路： 这是一个不可导函数，需要特殊处理。
详细步骤：
分析函数性质： f(x)=∣x∣f(x) = |x|f(x)=∣x∣ 在 x=0x = 0x=0 处不可导，但连续。
使用数值比较法：
f(0)=0f(0) = 0f(0)=0对于任意 x≠0x \neq 0x=0，f(x)>0f(x) > 0f(x)>0结论： x=0x = 0x=0 是极小值点，极小值为 000。
验证： 函数在 x=0x = 0x=0 处达到全局最小值。
答案： 函数在 x=0x = 0x=0 处取得极小值 000。
练习题练习 1求函数 f(x)=x4−4x2f(x) = x^4 - 4x^2f(x)=x4−4x2 的极值。
参考答案 (5 个标签)极值 导数法 多个驻点 极大值 极小值解题思路： 使用导数法求极值。
详细步骤：
求导数： f′(x)=4x3−8x=4x(x2−2)f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)f′(x)=4x3−8x=4x(x2−2)
求驻点： 令 f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0，得 x=0x = 0x=0 或 x=±2x = \pm\sqrt{2}x=±2
判断极值类型：
当 x<−2x < -\sqrt{2}x<−2 时，f′(x)<0f'(x) < 0f′(x)<0当 −2
x=−2x = -\sqrt{2}x=−2 是极小值点x=0x = 0x=0 是极大值点x=2x = \sqrt{2}x=2 是极小值点计算极值：
f(−2)=4−8=−4f(-\sqrt{2}) = 4 - 8 = -4f(−2)=4−8=−4（极小值）f(0)=0f(0) = 0f(0)=0（极大值）f(2)=4−8=−4f(\sqrt{2}) = 4 - 8 = -4f(2)=4−8=−4（极小值）答案： 函数在 x=0x = 0x=0 处取得极大值 000，在 x=±2x = \pm\sqrt{2}x=±2 处取得极小值 −4-4−4。
练习 2求函数 f(x)=sinx+cosxf(x) = \sin x + \cos xf(x)=sinx+cosx 在区间 [0,2π][0, 2\pi][0,2π] 上的极值。
参考答案 (5 个标签)极值 三角函数 区间极值 极大值 极小值解题思路： 使用导数法求极值。
详细步骤：
求导数： f′(x)=cosx−sinxf'(x) = \cos x - \sin xf′(x)=cosx−sinx
求驻点： 令 f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0，得 cosx=sinx\cos x = \sin xcosx=sinx 即 tanx=1\tan x = 1tanx=1，所以 x=π4+kπx = \frac{\pi}{4} + k\pix=4π+kπ，k∈Zk \in \mathbb{Z}k∈Z 在 [0,2π][0, 2\pi][0,2π] 上，驻点为 x=π4x = \frac{\pi}{4}x=4π 和 x=5π4x = \frac{5\pi}{4}x=45π
判断极值类型：
当 0
x=π4x = \frac{\pi}{4}x=4π 是极大值点x=5π4x = \frac{5\pi}{4}x=45π 是极小值点计算极值：
f(π4)=sinπ4+cosπ4=22+22=2f(\frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}f(4π)=sin4π+cos4π=22+22=2（极大值）f(5π4)=sin5π4+cos5π4=−22−22=−2f(\frac{5\pi}{4}) = \sin\frac{5\pi}{4} + \cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}f(45π)=sin45π+cos45π=−22−22=−2（极小值）答案： 函数在 x=π4x = \frac{\pi}{4}x=4π 处取得极大值 2\sqrt{2}2，在 x=5π4x = \frac{5\pi}{4}x=45π 处取得极小值 −2-\sqrt{2}−2。
总结本文出现的符号符号类型读音/说明在本文中的含义f(x)f(x)f(x)数学符号f of x函数记号，表示以 xxx 为自变量的函数f′(x)f'(x)f′(x)数学符号f prime of x函数的一阶导数f′′(x)f''(x)f′′(x)数学符号f double prime of x函数的二阶导数x0x_0x0数学符号x zero表示可能的极值点$x$数学符号中英对照中文术语英文术语音标说明极值判定extremum determination/ɪkˈstriːməm dɪˌtɜːmɪˈneɪʃən/判断函数极值的方法图像法graphical method/ˈɡræfɪkəl ˈmeθəd/通过观察函数图像判断极值的方法数值比较法numerical comparison method/njuːˈmerɪkəl kəmˈpærɪsən ˈmeθəd/通过比较函数值判断极值的方法导数法derivative method/dɪˈrɪvətɪv ˈmeθəd/通过导数判断极值的方法驻点stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/导数为零的点必要条件necessary condition/nɪˈsesəri kənˈdɪʃən/极值点必须满足的条件充分条件sufficient condition/səˈfɪʃənt kənˈdɪʃən/保证极值点成立的条件邻域neighborhood/ˈneɪbəhʊd/包含某个点的开区间去心邻域deleted neighborhood/dɪˈliːtɪd ˈneɪbəhʊd/去掉中心点的邻域尖点cusp/kʌsp/函数图像上不可导的尖角点 上一章节 函数的极值下一章节 函数的凹凸性 课程路线图1高等数学之函数探秘
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